Академический словарь русского языка - завести глаза

прост.

1) то же, что закатить глаза (см. закатить).

Анна Михайловна завела глаза, и на лице ее выразилась глубокая скорбь. Л. Толстой, Война и мир;

2) закрыть глаза, заснуть.

Патап Максимыч, как завел глаза, так и пустил храп и свист на всю гостиницу. Мельников-Печерский, В лесах.